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No.783  大学入試問題から(1) 2005 電気通信大学
発言者: tDB
発言日: 2009 12/27 18:58
正四面体は特殊すぎますから,他の四面体の例を大学入試問題から取り上げてみます。

下の例で,
    行頭に %
を付加した

%\iiiMenseki\O\A\B\tmp \sankaku{OAB}=\tmp
%\PSuisen\C\O\A\B\H,~
%\iiiKyori\C\H\CH CH=\CH

を有効にすると,
ある意味,検算ができます。

%--- 0032200504.tex ---------------------------------------------------
% 年度 2005
% 出題 0032 電気通信大学
% 検索キーワード 空間ベクトル 内積
% 科目 数B

\documentclass[fleqn]{jarticle}
\usepackage{graphicx,color}
\usepackage[remake,Pk]{emathPs}
\usepackage{emathMw}
\usepackage[continue]{emathAe}

\begin{document}
\begin{mawarikomi}<2>{}{%
\begin{psZahyou*}[ul=10mm,borderwidth=1em,
    Ex={r(1,-45)},
    Ey={r(1,15)}
    ](-2.2,1)(0,1.5)(0,2)
  \calcval{sqrt(2)}\OA
  \calcval{sqrt(5)}\OB
  \calcval{sqrt(6)}\BC
  \tenretu*{A(0,\OA);O(0,0)}
  \CandC\O\OB\A{3}\B\dmy
  \xytoiii{O;A;B}
  \SandSandS\A{3}\B{\BC}\O{3}\C\dmy\relax
  \iiiTakakkei{\C\B\O\A}
  \iiiDrawline{\O\C}
  \iiiHasen{\A\B}
  \iiitenretu**{O[s];A[e];B[w];C[n]}
% 以下,検算用
%\iiiMenseki\O\A\B\tmp \sankaku{OAB}=\tmp
%\PSuisen\C\O\A\B\H,~
%\iiiKyori\C\H\CH CH=\CH
\end{psZahyou*}
}
\begin{caprm}
辺の長さが
\[ OA=\sqrt2,~OB=\sqrt5,~ BC=\sqrt6, ~OC=AB=AC=3 \]
で与えられる四面体OABCを考える。$\bekutoru{OA}=\beku a$, $\bekutoru{OB}=\beku b$, $\bekutoru{OC}=\beku c$とおいて,
以下の問いに答えよ。
\end{caprm}
\begin{enumerate}[(1)]
  \item \kaku{AOB}の余弦$\cos\kaku{AOB}$を求め,\sankaku{OAB}の面積を計算せよ。
  \item 内積$\beku a\cdot\beku b$, $\beku b\cdot\beku c$, $\beku c\cdot \beku a$を求めよ。
  \item 点Cから\sankaku{OAB}を含む平面に垂線$l$を引き,その平面と$l$との交点をHとする。
    このとき,\bekutoru{OH}を\beku a, \beku bを用いて表せ。
  \item 線分CHの長さを求め,四面体OABCの体積を計算せよ。
\end{enumerate}
\end{mawarikomi}
\begin{Kaitou}
\begin{caprm}
\begin{enumerate}[(1)]
  \item \sankaku{OAB}に余弦定理を適用して
    \begin{align*}
      \cos\kaku{AOB}&=\bunsuu{OA^2+OB^2-AB^2}{2OA\cdot OB}\\
        &=\bunsuu{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2-3^2}{2\sqrt{2}\sqrt{5}}\\
        &=\bm{-\bunsuu{1}{\sqrt{10}}}
    \end{align*}
    $\sin\kaku{AOB}>0$であるから
    \[ \sin\kaku{AOB}=\sqrt{1-\cos^2\kaku{AOB}}=\bunsuu{3}{\sqrt{10}} \]
    \sankaku{AOB}の面積は
    \[ \sankaku{AOB}=\bunsuu12OA\cdot OB\sin\kaku{AOB}=\bm{\bunsuu32} \]
  \item (1)の結果を用いて
    \[ \vnaiseki*ab=OA\cdot OB\cos\kaku{AOB}=\bm{-1} \]
    同様に
    \begin{align*}
      \vnaiseki*bc&=\sqrt5\cdot3\cdot\bunsuu{4}{3\sqrt5}=\bm4\\
      \vnaiseki*ca&=3\sqrt2\cdot\bunsuu{1}{3\sqrt2}=\bm{1}
    \end{align*}
  \item Hは平面OAB上にあるから
    \[ \bekutoru{OH}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB} \]
    となる実数$s$, $t$が存在し,
    \[ \bekutoru{CH}=s\bekutoru*a+t\bekutoru*b-\bekutoru*c \]
    \bekutoru{CH}は\bekutoru*a, \bekutoru*bのいずれとも垂直であるから,
    (2)の結果も用いて
    \begin{align*}
      \vnaiseki*{CH}{a}&=s|\bekutoru*a|^2+t\vnaiseki*ba-\vnaiseki*ca\\
        &=2s-t-1=0\\
      \vnaiseki*{CH}{b}&=s\vnaiseki*ab+t|\bekutoru*b|^2-\vnaiseki*cb\\
        &=-s+5t-4=0
    \end{align*}
    これを連立させて解くと$s=t=1$を得る。ゆえに
    \[ \bm{\bekutoru{OH}}=\bekutoru*{\bm a}+\bekutoru*{\bm b} \]
  \item (3)の結果から
    \begin{align*}
      CH^2&=|\bekutoru{CH}|^2\\
        &=|\bekutoru*a+\bekutoru*b-\bekutoru*c|^2\\
        &=|\bekutoru*a|^2+|\bekutoru*b|^2+|\bekutoru*c|^2
          +2\vnaiseki*ab-2\vnaiseki*bc-2\vnaiseki*ca\\
        &=2+5+9-2-8-2=4\\
      \therefore \bm{CH}&=\bm2
    \end{align*}
    四面体OABCの体積$\mitV$は
    \[ \mitV=\bunsuu13\cdot\sankaku{OAB}\cdot CH=\bm1 \]
\end{enumerate}
\end{caprm}
\end{Kaitou}
\end{document}

▼関連発言

782:\CandC の3次元版 [tDB] 12/27 17:40
 └783:大学入試問題から(1) 2005 電気通信大学 [tDB] 12/27 18:58<-last

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